Triangulo de pascal o tartaglia

El triángulo de Pascal o Tartaglia  es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima.

Es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: (a + b) n , n ∈ N 

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

LA FORMULA ES: 

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Aquí les dejo un video donde les quedará mas claro esta información:

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS 

Dados los polinomios  ${\displaystyle \scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)}$, de la forma general:

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots +a_{n}x^{n}\,}$

o de forma compacta mediante el sumatorio de los términos del polinomio:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$

podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

Explicaré brevemente como operar, mediante operaciones básicas, dos o más polinomios.

Para la suma de polinomios:

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

^{Entonces, lo que haremos será:} 

1.Ordenar los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3




3.Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Para la resta de polinomios:
Consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Para la multiplicación de polinomios:
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Para la división de polinomios:

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que 

     

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

 http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_7_div_pol.htm

http://www.vitutor.net/1/0_13.html

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARTIMETICA

Teorema Fundamental de la Aritmética

Todo numero positivo puede ser mayor a uno

Se dice que un entero p > 1 es llamado un número primo, sí y sólo sí sus únicos divisores positivos son 1 y p. Un entero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.

Ejemplo:

Números son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Números son compuestos: 4, 6, 9, 14, 15, 16, 21.

Si p es un número primo y p | ab, entonces p|a ó p|b.

Demostración

Si p|a, no hay nada que demostrar.

Asumamos que p | ab. Como los divisores de p sólo son 1 y p, tenemos

M.C.D.(p, a) = 1.

Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto de primos.

Esta representación es única, salvo el orden de los factores.

El teorema anterior dice que todo entero n se puede escribir de forma única de la manera siguiente:

:

donde,

El teorema da la importancia de los números primos. Éstos son los "ladrillos básicos" con los que se van construyendo los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

http://teoriadenumeros.wikidot.com/teorema-fundamental-de-la-aritmetica