Método de Herón

"Método de Herón"
Matemáticas 2
Fátima Naveda Priego
Tercer Semestre de Bachillerato Grupo A 
Jueves 31 de Agosto del 2017 
Prof. Marco Antonio Morales Contreras 
Villahermosa, Tabasco

INTRODUCCIÓN

La presente investigación nos informará acerca de como calcular el área de un triangulo en un plano cartesiano ya que con el método de Herón se vuelve mas útil y accesible. 

Asimismo, se pretende abordar el proceso anterior para poder llegar a lo requerido.

A lo largo de su vida, este ingeniero y matemático helenístico, que trabajó en el Musaeum, el museo anexo a la Biblioteca de Alejandría, llegó a idear tales inventos una coleecion de 80 aparatos mecánicos que funcionan con aire, vapor o presión hidráulica‒ que es difícil creer que viviera en el siglo I d. C.

   Uno de sus inventos más famosos fue la primera máquina de vapor, conocida como eolípila. Basado en una idea de Vitruvius, La eolípila consistía en una esfera hueca llena de agua a la que se adaptaban dos tubos curvos. El mecanismo tenía debajo un caldero con llamas, de forma que cuando el agua de la esfera llegaba a hervir los tubos expulsaban el vapor, haciendo girar el conjunto a gran velocidad. Herón demostró que su modelo podía tener aplicaciones prácticas y diseñó una versión que servía de puertas automáticas para templos.

DESARROLLO

Entre los muchos "Herón" que existen en la historia de las ciencias técnico-matemáticas unos de los más importantes fue el de Alejandría (que por cierto parece ser que tampoco nació allí sino en Ascra). Si tiene más fundamento el que era de origen humilde y fue, en su juventud, zapatero. Tampoco existen datos dignos de crédito respecto a su nacimiento (?126 a.C.) ni a su muerte (?50 a.C.).
Aunque quizás la expresión matemática más conocida de Herón sea su fórmula para determinar el área de un triágulo conocidos sus lados. Algo realmente útil en aquellos tiempos. Si bien parece que era conocida por Arquímedes, la primera demostración que nos ha llegado figura en la Métrica uno de los tratados más famosos de Herón. El teorema nos garantiza, conociendo las lados de un triángulo, conocer su área, mediante la expresión de más abajo donde a, b y c son los lados del triángulo y p la mitad del perímetro del mismo.

También existe un famoso método de Herón para calcular o aproximar raíces cuadradas. Este método increiblemente moderno, se basa en calcular aproximaciones sucesivas de la raiz cuadrada de un número positivo n. Esto es si x es una aproximación se define la siguiente como

Como es fácil de probar que si |x^2-n|<ε entonces |y^2-n|<ε^2/4. La aproximación, de los sucesivos cuadrados a n, decimos que es cuadrática y en la práctica los sucesivos valores de las aproximaciones convergen muy rápidamente al valor real de √ n.

Para poder encontrar el área, primero tenemos que tener las medidas de los lados; en caso de no tenerlo, aquí te ayudaremos a poder sacar las medidas de un punto a otro para obtener un lado y así sucesivamente poder obtener todos los lados.

La formula para sacar distancia entre un punto y otro es:

Aquí les dejo un video para que sea mas entendida esta parte:

Ya que tienes la medida de un lado, debes continuar calculando los puntos que siguen.

Si es un triangulo equilátero, con calcular solo un lado es mas que suficiente, ya que solo lo sumas 2 veces mas el resultado y listo.

Ya obtenida toda las distancias, se sacará el perímetro

La formula para sacar perímetro es:  

Se suman todas las distancias y ya sumado, después se divide entre 2; y ese resultado es el perímetro, que a continuación se va a utilizar.

Aquí dejo un video para que esta explicación quede mas clara.

Y continuando, les mostraré la formula de Herón aplicando el área:

Les dejo un video para que se les facilite la comprensión del ultimo punto tocado:

Aquí les dejo un ejemplo donde utilicé las formulas que les coloqué en la parte superior(donde está la información), pueden agarrar el ejemplo de mi figura como práctica y al final corroborar su resultado; la aplicación que utilicé se llama Geogebra.

CONCLUSIÓN

Podemos observar y analizar que no es complicado el uso de éste método, ya que las formulas están establecidas, y que con el método de Herón podemos hallar de manera fácil las medidas de una figura, y aunque nos encontremos en un plano cartesiano y nos señalen la figura, nosotros mismos podamos resolver el problema, poniendo las distancias, sacando el perímetro, etc.
Hay muchos métodos que podemos utilizar, pero yo recomiendo que utilicen el de Herón, ademas de que encontrarán muchísima información y videos en Internet donde les expliquen el procedimiento.  


Espero les haya gustado y dejen un comentario abajo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Math2me.com. (2017). Perímetro y área de un triángulo│fórmula de Herón @ math2me.com. [online] Available at: http://math2me.com/playlist/geometria/perimetro-y-area-de-un-triangulo-formula-de-heron [Accessed 28 Aug. 2017].

Formulas, U., Formulas, U., Formulas, U. and Formulas, U. (2017). Fórmula de Herón. [online] Universo Formulas. Available at: http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/formula-heron/ [Accessed 28 Aug. 2017].

Profesorenlinea.com.mx. (2017). Distancia entre dos puntos. [online] Available at: http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Distancia_entre_dos_puntos.html [Accessed 28 Aug. 2017].

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.

Aquí veremos la demostración de las identidades trigonométricas pitagóricas

Con polígonos represento mi historia

"Tete de Femme"

Pablo Picasso

Clasificación de triángulos

Triangulo de pascal o tartaglia

El triángulo de Pascal o Tartaglia  es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima.

Es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: (a + b) n , n ∈ N 

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

LA FORMULA ES: 

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Aquí les dejo un video donde les quedará mas claro esta información:

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS 

Dados los polinomios  ${\displaystyle \scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)}$, de la forma general:

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots +a_{n}x^{n}\,}$

o de forma compacta mediante el sumatorio de los términos del polinomio:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$

podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

Explicaré brevemente como operar, mediante operaciones básicas, dos o más polinomios.

Para la suma de polinomios:

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

^{Entonces, lo que haremos será:} 

1.Ordenar los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3




3.Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Para la resta de polinomios:
Consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Para la multiplicación de polinomios:
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Para la división de polinomios:

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que 

     

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

 http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_7_div_pol.htm

http://www.vitutor.net/1/0_13.html

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARTIMETICA

Teorema Fundamental de la Aritmética

Todo numero positivo puede ser mayor a uno

Se dice que un entero p > 1 es llamado un número primo, sí y sólo sí sus únicos divisores positivos son 1 y p. Un entero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.

Ejemplo:

Números son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Números son compuestos: 4, 6, 9, 14, 15, 16, 21.

Si p es un número primo y p | ab, entonces p|a ó p|b.

Demostración

Si p|a, no hay nada que demostrar.

Asumamos que p | ab. Como los divisores de p sólo son 1 y p, tenemos

M.C.D.(p, a) = 1.

Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto de primos.

Esta representación es única, salvo el orden de los factores.

El teorema anterior dice que todo entero n se puede escribir de forma única de la manera siguiente:

:

donde,

El teorema da la importancia de los números primos. Éstos son los "ladrillos básicos" con los que se van construyendo los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

http://teoriadenumeros.wikidot.com/teorema-fundamental-de-la-aritmetica