OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS 

Dados los polinomios  ${\displaystyle \scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)}$, de la forma general:

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots +a_{n}x^{n}\,}$

o de forma compacta mediante el sumatorio de los términos del polinomio:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$

podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

Explicaré brevemente como operar, mediante operaciones básicas, dos o más polinomios.

Para la suma de polinomios:

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

^{Entonces, lo que haremos será:} 

1.Ordenar los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3




3.Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Para la resta de polinomios:
Consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Para la multiplicación de polinomios:
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Para la división de polinomios:

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que 

     

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

 http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_7_div_pol.htm

http://www.vitutor.net/1/0_13.html